sibsutisВестник СибГУТИThe Herald of the Siberian State University of Telecommunications and Information Science1998-6920СибГУТИsibsutis-463Research ArticleСтатьиВычислительные аспекты распознавания абстрактных свойств бесконечных комбинаторных объектовComputing aspects of recognition of abstract properties of infinite combinatoric objectsЛыткинаД. В.LytkinaD. V.daria.lytkin@gmail.comМазуровВ. Д.MazurovV. D.mazurov@math.nsc.ruСибГУТИRussian FederationРоссийская академия наук при Институте математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения РАНRussian Federation201426102022044759Copyright © Лыткина Д.В., Мазуров В.Д., 20222022Лыткина Д.В., Мазуров В.Д.Lytkina D.V., Mazurov V.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.sibsutis.ru/jour/article/view/463

В статье приводится обзор результатов, связанных с решением проблемы Бёрнсайда для малых n и смежных вопросов.

This paper is a survey of some results and open problems about the structure of (mostly infinite) periodic groups with a given set of element orders.

периодическая группапорядокспектрэкспонентапериодspectrumexponentperiodic grouplocally finite groupReferencesAdelmann C., Gerbracht E. H.-A. Letters from William Burnside to Robert Fricke: automorphic functions, and the emergence of the Burnside Problem // Arch. Hist. Exact Sci. - 2009.-Vol. 63, no. 1. - P. 33-50.Adelmann C., Gerbracht E. H.-A. Letters from William Burnside to Robert Fricke: automorphic functions, and the emergence of the Burnside Problem // Arch. Hist. Exact Sci. - 2009.-Vol. 63, no. 1. - P. 33-50.Hall M. Solution of the Burnside problem for exponent six // Illinois J. Math. - 1958. - Vol. 2. - P. 764-786.Hall M. Solution of the Burnside problem for exponent six // Illinois J. Math. - 1958. - Vol. 2. - P. 764-786.Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure Appl. Math. - 1902. - Vol. 33. - P. 230-238.Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure Appl. Math. - 1902. - Vol. 33. - P. 230-238.Adyan S. I. The Burnside problem and related questions. // Russian Math. Surveys. - 2010. - Vol. 65, no. 5. - P. 805-855.Adyan S. I. The Burnside problem and related questions. // Russian Math. Surveys. - 2010. - Vol. 65, no. 5. - P. 805-855.Hilton M. A. An introduction to the theory of groups of finite order. - Oxford : Clarendon Press, 1908.Hilton M. A. An introduction to the theory of groups of finite order. - Oxford : Clarendon Press, 1908.Burnside W. On groups in which every two conjugate operations are permutable // Proc. London Math. Soc. - 1903. - Vol. 35. - P. 28-37.Burnside W. On groups in which every two conjugate operations are permutable // Proc. London Math. Soc. - 1903. - Vol. 35. - P. 28-37.Hopkins C. Finite groups in which conjugate operations are commutative // Amer. J. Math. - 1929. - Vol. 51. - P. 35-41.Hopkins C. Finite groups in which conjugate operations are commutative // Amer. J. Math. - 1929. - Vol. 51. - P. 35-41.Levi F. Groups in which the commutator operations satisfy certain algebraic conditions // J. Indian Math. Soc. - 1942. - Vol. 6. - P. 166-170.Levi F. Groups in which the commutator operations satisfy certain algebraic conditions // J. Indian Math. Soc. - 1942. - Vol. 6. - P. 166-170.Levi F., van der Waerden B. Über eine besondere Klasse von Gruppen // Abh. Math. Semin., Hamburg Univ. - 1932. - Vol. 9. - P. 157-158.Levi F., van der Waerden B. Über eine besondere Klasse von Gruppen // Abh. Math. Semin., Hamburg Univ. - 1932. - Vol. 9. - P. 157-158.Санов И.Н. Решение проблемы Бёрнсайда для показателя 4 // Учёные записки Ленинградского гос. ун-та. Сер. матем. - 1940. - № 55. - С. 166-170.Санов И.Н. Решение проблемы Бёрнсайда для показателя 4 // Учёные записки Ленинградского гос. ун-та. Сер. матем. - 1940. - № 55. - С. 166-170.Размыслов Ю. П. Проблема Холла-Хигмана // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1978. - Т. 42, № 4. - С. 833-847.Размыслов Ю. П. Проблема Холла-Хигмана // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1978. - Т. 42, № 4. - С. 833-847.Kostrikin A. I. Around Burnside. - Springer-Verlag, New York, Berlin, and Heidelberg, 1990. - Vol. 20 of Ergeb. Math. Grenzgeb. (3).Kostrikin A. I. Around Burnside. - Springer-Verlag, New York, Berlin, and Heidelberg, 1990. - Vol. 20 of Ergeb. Math. Grenzgeb. (3).Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside’s problem // Proc. London Math. Soc. - 1956. - Vol. 6, no. 3. - P. 1-42.Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside’s problem // Proc. London Math. Soc. - 1956. - Vol. 6, no. 3. - P. 1-42.Newman M. F. Groups of exponent six // Computational group theory (Durham, 1982), London: Academic Press. - 1984. - P. 39-41.Newman M. F. Groups of exponent six // Computational group theory (Durham, 1982), London: Academic Press. - 1984. - P. 39-41.Лысёнок И. Г. Доказательство теоремы М. Холла о конечности групп B(m, 6) // Матем. заметки. - 1987. - Т. 41, № 3. - С. 422-428.Лысёнок И. Г. Доказательство теоремы М. Холла о конечности групп B(m, 6) // Матем. заметки. - 1987. - Т. 41, № 3. - С. 422-428.Новиков П. С. О периодических группах // Докл. АН СССР. - 1959. - Т. 127. - С. 749-752.Новиков П. С. О периодических группах // Докл. АН СССР. - 1959. - Т. 127. - С. 749-752.Новиков П. С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах. I // Изв. АН СССР, Сер. матем. - 1968. - Т. 32, № 1. - С. 212-244.Новиков П. С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах. I // Изв. АН СССР, Сер. матем. - 1968. - Т. 32, № 1. - С. 212-244.Новиков П. С., Адян С. И. О бесконечных периодических группах. II // Изв. АН СССР, Сер. матем. - 1968. - Т. 32, № 2. - С. 251-524.Новиков П. С., Адян С. И. О бесконечных периодических группах. II // Изв. АН СССР, Сер. матем. - 1968. - Т. 32, № 2. - С. 251-524.Новиков П. С., Адян С. И. О бесконечных периодических группах. III // Изв. АН СССР, Сер. матем. - 1968. - Т. 32, № 3. - С. 709-731.Новиков П. С., Адян С. И. О бесконечных периодических группах. III // Изв. АН СССР, Сер. матем. - 1968. - Т. 32, № 3. - С. 709-731.Адян С. И. Проблема Бёрнсайда и тождества в группах. - Москва: Наука, 1975.Адян С. И. Проблема Бёрнсайда и тождества в группах. - Москва: Наука, 1975.Ivanov S. V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Internat. J. Algebra Comput. - 1994. - Vol. 4. - P. 3-308.Ivanov S. V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Internat. J. Algebra Comput. - 1994. - Vol. 4. - P. 3-308.Лысёнок И.Г. Бесконечные бёрнсайдовы группы чётного периода // Изв. РАН, Сер. матем. - 1996. - Т. 60, № 3. - С. 3-224.Лысёнок И.Г. Бесконечные бёрнсайдовы группы чётного периода // Изв. РАН, Сер. матем. - 1996. - Т. 60, № 3. - С. 3-224.Neumann B. H. Groups whose elements have bounded orders // J. London Math. Soc. - 1937. - Vol. 12. - P. 195-198.Neumann B. H. Groups whose elements have bounded orders // J. London Math. Soc. - 1937. - Vol. 12. - P. 195-198.Лыткина Д. В. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 // Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, № 2. - С. 353-358.Лыткина Д. В. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 // Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, № 2. - С. 353-358.Neumann B. H. Groups with automorphisms that leave only the neutral element fixed // Arch. Math. - 1956. - Vol. 7. - P. 1-5.Neumann B. H. Groups with automorphisms that leave only the neutral element fixed // Arch. Math. - 1956. - Vol. 7. - P. 1-5.Журтов А. Х. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса // Сибирский математический журнал. - 2000. - Т. 41, № 2. - С. 329-338.Журтов А. Х. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса // Сибирский математический журнал. - 2000. - Т. 41, № 2. - С. 329-338.Jabara E. Fixed point free action of groups of exponent 5 // J. Austral. Math. Soc. - 2004. - Vol. 77. - P. 297-304.Jabara E. Fixed point free action of groups of exponent 5 // J. Austral. Math. Soc. - 2004. - Vol. 77. - P. 297-304.Jabara E. Free actions of groups of exponent 5 // Algebra and Logic. - 2011. - Vol. 50, no. 5. - P. 466-469.Jabara E. Free actions of groups of exponent 5 // Algebra and Logic. - 2011. - Vol. 50, no. 5. - P. 466-469.О периодических группах, свободно действующих на абелевых группах / А. Х. Журтов, Д. В. Лыткина, В. Д. Мазуров, А. И. Созутов // Тр. ИММ УрО РАН. - 2013. - Т. 19, № 3. - С. 136-143.О периодических группах, свободно действующих на абелевых группах / А. Х. Журтов, Д. В. Лыткина, В. Д. Мазуров, А. И. Созутов // Тр. ИММ УрО РАН. - 2013. - Т. 19, № 3. - С. 136-143.Jabara E., Mayr P. Frobenius complements of exponent dividing 2m ⋅ 9 // Forum Mathematicum. - 2009. - Vol. 21, no. 1. - P. 217-220.Jabara E., Mayr P. Frobenius complements of exponent dividing 2m ⋅ 9 // Forum Mathematicum. - 2009. - Vol. 21, no. 1. - P. 217-220.Лыткина Д. В. О периодических группах, действующих свободно на абелевой группе // Алгебра и логика. - 2010. - Т. 49, № 3. - С. 379-387.Лыткина Д. В. О периодических группах, действующих свободно на абелевой группе // Алгебра и логика. - 2010. - Т. 49, № 3. - С. 379-387.Шунков В. П. Об одном классе p-групп // Алгебра и Логика. - 1970. - Т. 9, № 4. - С. 484-496.Шунков В. П. Об одном классе p-групп // Алгебра и Логика. - 1970. - Т. 9, № 4. - С. 484-496.Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. - Москва : Наука, 1968.Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. - Москва : Наука, 1968.Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. - Москва : Наука, 1989.Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. - Москва : Наука, 1989.Мазуров В. Д. О группах периода 24 // Алгебра и логика. - 2010. - Т. 49, № 6. - С. 766-781.Мазуров В. Д. О группах периода 24 // Алгебра и логика. - 2010. - Т. 49, № 6. - С. 766-781.Джабара Э., Лыткина Д. В. О группах периода 36 // Сиб. матем. ж. - 2013. - Т. 54, № 1. - С. 44-48.Джабара Э., Лыткина Д. В. О группах периода 36 // Сиб. матем. ж. - 2013. - Т. 54, № 1. - С. 44-48.Jabara E., Lytkina D. V., Mazurov V. D. Some groups of exponent 72 // J. Group Theory. - 2014. - Vol. 17, no. 5. - P. 1.Jabara E., Lytkina D. V., Mazurov V. D. Some groups of exponent 72 // J. Group Theory. - 2014. - Vol. 17, no. 5. - P. 1.Mazurov V. D. Infinite groups with Abelian centralizers of involutions // Algebra and Logic. - 2000. - Т. 39, № 1. - С. 42-49.Mazurov V. D. Infinite groups with Abelian centralizers of involutions // Algebra and Logic. - 2000. - Т. 39, № 1. - С. 42-49.Gupta N. D., Mazurov V. D. On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc. - 1999. - Vol. 60. - P. 197-205.Gupta N. D., Mazurov V. D. On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc. - 1999. - Vol. 60. - P. 197-205.Мазуров В. Д. О группах периода 60 с заданными порядками элементов // Алгебра и логика. - 2000. - Т. 39, № 3. - С. 329-346.Мазуров В. Д. О группах периода 60 с заданными порядками элементов // Алгебра и логика. - 2000. - Т. 39, № 3. - С. 329-346.Мазуров В. Д., Мамонтов А. С. О периодических группах с элементами малых порядков // Сиб. матем. ж. - 2009. - Т. 50, № 2. - С. 397-404.Мазуров В. Д., Мамонтов А. С. О периодических группах с элементами малых порядков // Сиб. матем. ж. - 2009. - Т. 50, № 2. - С. 397-404.Mamontov A. S. Groups of exponent 12 without elements of order 12 // Siberian Mathematical Journal. - 2013. - Vol. 54, no. 1. - P. 114-118.Mamontov A. S. Groups of exponent 12 without elements of order 12 // Siberian Mathematical Journal. - 2013. - Vol. 54, no. 1. - P. 114-118.Groups of period 60 / E. Jabara, D. V. Lytkina, A. S. Mamontov, V. D. Mazurov // in preparation.Groups of period 60 / E. Jabara, D. V. Lytkina, A. S. Mamontov, V. D. Mazurov // in preparation.Lytkina D. V., Kuznetsov A. A. Recognizability by spectrum of the group L2(7) in the class of all groups // Sib. Electronic Math. Reports. - 2007. - Vol. 4. - P. 300-303. - URL: http://semr.math.nsc.ru.Lytkina D. V., Kuznetsov A. A. Recognizability by spectrum of the group L2(7) in the class of all groups // Sib. Electronic Math. Reports. - 2007. - Vol. 4. - P. 300-303. - URL: http://semr.math.nsc.ru.Jabara E., Lytkina D. V., Mamontov A. S. Recognizing M10 by spectrum in the class of all groups // Int. J. Algebra Comput. - Vol. 24, no. 2. - P. 113-119.Jabara E., Lytkina D. V., Mamontov A. S. Recognizing M10 by spectrum in the class of all groups // Int. J. Algebra Comput. - Vol. 24, no. 2. - P. 113-119.Лыткина Д. В., Мазуров В. Д., Мамонтов А. С. Локальная конечность некоторых групп периода 12 // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53, № 6. - С. 1373-1378.Лыткина Д. В., Мазуров В. Д., Мамонтов А. С. Локальная конечность некоторых групп периода 12 // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53, № 6. - С. 1373-1378.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.